Números primos: ordem ou caos?

Se esses criadores de problemas são difíceis de identificar, é porque aparentemente foram plantados ao acaso ao longo de um enxame de inteiros, com o único objetivo de atormentar os matemáticos.

Basta olhar para Lista Números primos com menos de 100 para condenação. Todos eles são individuais (exceto 2), mas as diferenças entre eles são imprevisíveis. Parece que não existe uma regra distribuída.

Ironicamente, a distribuição dos primos é tão estranha que só pode ser atribuída ao acaso. Lucille Devine sabe algo sobre isso. Um pós-doutorado da equipe de Andrew Granville está interessado em um problema que é fácil de formular, mas difícil de resolver, “como todos os problemas com números primos”.

Ele pode ser resumido da seguinte forma: Qual é o resto da divisão por 4 para um número primo? Por exemplo, se dividirmos 19 por 4, então 3 permanece (4 x 4 = 16 e 3 permanece). Se dividirmos 17 por 4, então ainda há 1. “Em todos os casos, há apenas duas respostas, 1 ou 3. Teorema 19H Center diz que não há razão para qualquer um deles acontecer com muita frequência. No entanto, quando observamos os números primos, há mais que dá o resto do que 3 e não sabemos por quê. Armada com “papel e lápis”, ela está tentando encontrar uma teoria que explique esse preconceito que Chebyshev disse.

Em 2016, dois matemáticos da Universidade de Stanford, Kanan Sundarajan e Robert Lemke Oliver, Eu encontrei outro “charlatão” Escaneando (pelo computador) 400 bilhões de números primos. Exceto para 2 e 5, todos eles terminam com 1, 3, 7 ou 9. Antecipadamente, a probabilidade de um número primo terminar em 1 seguido por outro terminando com um desses quatro números é de 25% para cada número, se houver chance é respeitado. Mas a dupla descobriu irregularidades: assim, a probabilidade de que um número primo terminando com o número 1 seria 30% mais provável de ser seguido por um número primo terminando com o número 3 ou 7. É raro que dois números primos consecutivos se sigam o mesmo número. “Ninguém tinha notado isso antes”, ri Andrew Granville.

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Uma falsa bagunça?

Portanto, à primeira vista, as partículas elementares do cálculo são claramente imprevisíveis. Mas se nos afastarmos para observar o quadro geral, especialmente olhando para números primos muito grandes, certas tendências emergem.

Quanto maiores os números, menor a proporção de números primos entre eles. Carl Friedrich Gauss colocou esse afrouxamento na equação em 18H século. “Aos quinze anos, observe que a densidade dos primos em torno de um número x é aproximadamente igual a 1 / ln (x) [ln est le logarithme, une notion bien connue en mathématiques] E está provado ”, explica Andrew Granville.

Não importa se o termo logaritmo não significa nada para você: ele permite estimar as chances de que um número tirado aleatoriamente seja um número primo (estimando assim a porcentagem de números primos em um determinado período de tempo) sem ser errado também. Provas de algum tipo de ordem por trás do caos aparente. Por exemplo, esta regra estabelece 72 números primos entre 1.000.000 e 1001.000. Na verdade, existem 75: Não é tão ruim!

Essa observação é a base de uma das maiores tarefas da matemática: provar a hipótese de Riemann, desenvolvida pelo gênio Bernard Riemann em 1859, que permitiria encontrar a posição de cada número primo com uma pequena margem de erro. . A fórmula não é inexplicável para o público em geral (é baseada em uma função chamada “zeta”), mas pode explicar a distribuição irregular dos primos, que às vezes se sucedem por uma diferença de 2 (“gêmeos”), 6 ( “estímulo”) ou … milhões.

Por 160 anos, matemáticos tentaram, sem sucesso, provar essa hipótese, que é um dos sete “Problemas do Milênio” que ele identificouClay Mathematics Institute. Esta organização privada oferece uma recompensa de US $ 1 milhão para quem conseguir resolver o mistério …

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Enquanto isso, o quebra-cabeça é bom. “De alguma forma, é bom que não haja uma fórmula, caso contrário, todos os nossos algoritmos de segurança falharão!” “Lucille Devin diz. As transações com cartões bancários e a troca de dados na Internet já se baseiam em uma técnica de criptografia que encontra os denominadores primários de um número extremamente grande (mais de 200 números). Na ausência de regras, a única solução é testar todas as combinações possíveis até obter o resultado e decodificar a mensagem. Resume o pesquisador: “Demora muito para conseguir detectar os ataques antes que o intruso chegue lá”. Graças a esses números irredutíveis, nossos segredos estão bem guardados … por enquanto.

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